MECÂNICA ESTRUTURAL DIMENSIONAL GRACELI [201].

MECÃNICA ESTRUTURAL DIMENSIONAL CATEGORIAL GRACELI.

SISTEMA DINÃMICO ESTRUTURAL TRANSFORMATIVO INTERATIVO DE FORÇAS FUNDAMENTAIS E ENERGIAS, E DO SISTEMA DIMENSIONAL CATEGORIAL DE GRACELI QUE DETERMINAM E REFERENCIAM O MUNDO DOS FENÔMENOS FÍSICOS, QUÍMICOS, BIOLÓGICOS E PSÍQUICOS .

COMO FORMAS DE INTERAÇÕES ENTRE MOLÉCULAS, ESTRUTURA MOLECLAR, ONDAS, ENRGIAS, PARTÍCULAS, FÓTONS, MOMENTUM MAGNÉTICO, DISTRIBUIÇÃO ELETRÔNICA, NÍVEIS DE ENERGIAS, NÚMEROS QUÂNTICOS E ESTADOS QUÂNTICOS. E OUTROS.

EQUAÇÃO DE GRACELI.. PARA INTERAÇÕES DE ONDAS E INTERAÇÕES DAS FORÇAS FUNDAMENTAIS.

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

1 / $\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] [-1] =

$\psi ^{*}$ Em mecânica quântica, o OPERADOR DE GRACELI [ $G* =$ $\psi ^{*}$ $TEMA , TODAS AS INTERAÇÕES INCLUINDO TODAS AS INTERAÇÕES DAS FORÇAS FUNDAMENTAIS [AS QUATRO FORÇAS] [ELETROMAGNÉTICA, FORTE, FRACA E GRAVITACIONAL], INTERAÇÕES SPINS-ÓRBITAS, ESTRUTURRA ELETRÔNICA DOS ELEMENTOS QUÍMICOS, TRANSFORMAÇÕES, SISTEMAS DE ONDAS QUÂNTICAS, MOMENTUM MAGNÉTICO de cada elemento químico e partícula, NÍVEIS DE ENERGIA , número quântico , e o sistema GENERALIZADO GRACELI.$

$COMO TAMBÉM ESTÁ RELACIONADO A TODO SISTEMA CATEGORIAL GRACELI, TENSORIAL GRACELI DIMENSIONAL DE GRACELI..$

O raio de Wigner-Seitz $r_{\rm {s}}$ , em homenagem a Eugene Wigner e Frederick Seitz, é o raio de uma esfera cujo volume é igual ao volume médio por átomo em um sólido (para metais do primeiro grupo).^[1]^[2] No caso mais geral de metais com mais elétrons de valência, $r_{\rm {s}}$ é o raio de uma esfera cujo volume é igual ao volume por elétron livre.^[3] Este parâmetro é usado freqüentemente na física da matéria condensada para descrever a densidade de um sistema. É importante mencionar, $r_{\rm {s}}$ é calculado para materiais a granel.

Fórmula

Em um sistema 3-D com $N$ elétrons livres em um volume $V$ ,o raio Wigner-Seitz é definido por

{\frac {4}{3}}\pi r_{\rm {s}}^{3}={\frac {V}{N}}={\frac {1}{n}}\,,

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

onde $n$ é a densidade de partícula de elétrons livres. Resolvendo para $r_{\rm {s}}$ nós obtemos

r_{\rm {s}}=\left({\frac {3}{4\pi n}}\right)^{1/3}.

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

O raio também pode ser calculado como

r_{\rm {s}}=\left({\frac {3M}{4\pi Z\rho N_{\rm {A}}}}\right)^{\frac {1}{3}}\,,

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

onde $M$ é massa molar, $Z$ é a quantidade de elétrons livres por átomo, $\rho$ é a densidade de massa, e $N_{\rm {A}}$ é o número de Avogadro.

Este parâmetro é normalmente relatado em unidades atômicas, ou seja, em unidades do raio de Bohr.

Valores

Valores de $r_{\rm {s}}$ para os metais do primeiro grupo:^[3]

Elemento	$r_{\rm {s}}/a_{0}$
Li	3.25
Na	3.93
K	4.86
Rb	5.20
Cs	5.62

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

Um cristal de Wigner, também conhecido como cristal de elétron^[1] ou gelo de elétron^[2], é a fase sólida (cristalina) de elétrons prevista pela primeira vez por Eugene Wigner em 1934.^[3]

Processo

Um gás de elétrons movendo-se em 2D ou 3D em um fundo uniforme, inerte e neutralizante se cristalizará e formará uma rede se a densidade do elétron for menor que um valor crítico. Isso ocorre porque a energia potencial domina a energia cinética em baixas densidades, de modo que o arranjo espacial detalhado dos elétrons torna-se importante. Para minimizar a energia potencial, os elétrons formam uma rede bcc (cúbica centrada no corpo) em 3D, uma rede triangular em 2D e uma rede uniformemente espaçada em 1D. Os aglomerados de Wigner mais experimentalmente observados existem devido à presença do confinamento externo, ou seja, armadilha potencial externa. Como conseqüência, desvios da rede b.c.c ou triangular são observados. Um estado cristalino do gás de elétron 2D também pode ser realizado pela aplicação de um campo magnético suficientemente forte. No entanto, ainda não está claro se é a cristalização de Wigner que levou à observação do comportamento isolante em medições de magnetotransporte em sistemas de elétrons 2D, uma vez que outros candidatos estão presentes, como a localização de Anderson.

Observação

O Laboratório de Berkeley e a equipe da UC Berkeley desenvolveram uma técnica para visualizar os cristais, que tendem a “derreter” quando sondados. Ao colocar uma folha de grafeno sobre o sanduíche semicondutor, a equipe foi capaz de sondar o cristal de Wigner com um microscópio de tunelamento sem derreter a amostra e demonstrar a estrutura cristalina da rede, como Wigner previu.^[2]

Descrição

Um gás de elétron uniforme a temperatura zero é caracterizado por um único parâmetro adimensional, o chamado raio de Wigner-Seitz r_s = a / a_b, onde a é o espaçamento médio entre partículas e a_b é o raio de Bohr. A energia cinética de um gás de elétron é dimensionada como 1/r_s², isso pode ser visto, por exemplo, considerando um gás de Fermi simples. A energia potencial, por outro lado, é proporcional a 1/r_s. Quando r_s torna-se maior em baixa densidade, a última torna-se dominante e força os elétrons o mais distantes possível. Como consequência, eles se condensam em uma estrutura compacta. O cristal de elétron resultante é chamado de cristal de Wigner.^[4]

Com base no critério de Lindemann, pode-se encontrar uma estimativa para o ponto crítico r_s. O critério afirma que o cristal derrete quando a raiz quadrada média do deslocamento dos elétrons ${\sqrt {\langle r^{2}\rangle }}$ é cerca de um quarto do espaçamento da rede a. Partindo do pressuposto de que as vibrações dos elétrons são aproximadamente harmônicas, pode-se usar que, para um oscilador harmônico quântico, a raiz do deslocamento quadrático médio no estado fundamental (em 3D) é dado por

${\sqrt {\langle r^{2}\rangle }}=3{\frac {\hbar }{2m_{e}\omega }}$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

com $\hbar$ a constante de Planck, $m e$ a massa do elétron e ω a frequência característica das oscilações. Este último pode ser estimado considerando a energia potencial eletrostática para um elétron deslocado por r from its lattice point. Digamos que a célula Wigner-Seitz associada ao ponto da rede seja aproximadamente uma esfera de raio a/2. O uniforme, fundo neutralizante, então, dá origem a uma carga positiva manchada de densidade $6e/a^{3}\pi$ com $e$ a carga do elétron. O potencial elétrico sentido pelo elétron deslocado como resultado disso é dado por

$\varphi (r)={\frac {e}{4\pi \epsilon _{0}}}\left({\frac {3}{a}}-{\frac {4r^{2}}{a^{3}}}\right)$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

com ε₀ a permissividade do vácuo. Comparando $-e\varphi (r)$ à energia de um oscilador harmônico, pode-se ler

${\frac {1}{2}}m_{e}\omega ^{2}={\frac {e^{2}}{\pi \epsilon _{0}a^{3}}}$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

ou, combinando isso com o resultado do oscilador harmônico quântico para o deslocamento médio quadrático

${\frac {\sqrt {\langle r^{2}\rangle }}{a}}={\sqrt {\frac {3}{8}}}\left({\frac {1}{r_{s}}}\right)^{1/4}$

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

O critério de Lindemann nos dá a estimativa de que r_s > 40 é necessário para fornecer um cristal Wigner estável. Simulações de Quantum Monte Carlo indicam que o gás de elétron uniforme realmente cristaliza em r_s = 106 in 3D^[5]^[6] e r_s = 31 em 2D.^[7]^[8]^[9]

Para sistemas clássicos em temperaturas elevadas, usa-se a interação interpartícula média em unidades de temperatura: G = e² / (k_B Ta). A transição de Wigner ocorre em G = 170 in 3D e G = 125 in 2D.^[10] Acredita-se que os íons, como os do ferro, formem um cristal de Wigner no interior das estrelas anãs brancas.

Em Física do estado sólido o conceito de célula de Wigner-Seitz surge como uma maneira padrão de se definir uma célula primitiva para uma dada rede de pontos geométricos. Essa célula têm importância teórica na determinação da simetria de um cristal. Por outro lado, graças à posição de suas faces, é útil quando desenhada na rede recíproca (Zona de Brillouin), já que pode-se reconhecer os vetores de onda que satisfazem a condição de difração de ordem n = 1 como sendo aqueles que partem de um ponto da rede recíproca e chegam até a borda dessa célula.

Definição

A célula primitiva definida como a célula de Wigner-Seitz é o local geométrico formado pelos pontos mais próximos de um certo ponto que de qualquer outro ponto em uma Rede de Bravais.^[1]

Construção geométrica

Etapas para a construção de uma célula de Wigner-Seitz 2D.

Célula de Wigner-Seitz 3D

Dada uma rede de pontos geométricos com simetria de translação pode-se construir a célula de Wigner-Seitz com os seguintes passos:

1. Escolher um ponto da rede.

2. Traçar segmentos de reta entre o ponto escolhido e seus vizinhos mais próximos.

3. No ponto médio desses segmentos desenhar planos perpendiculares a eles.

4. A região fechada em torno do ponto escolhido é a célula de Wigner-Seitz.

Célula de Wigner-Seitz no espaço recíproco

Considerando uma rede geométrica com simetria de translação dada por vetores da forma

Célula de Wigner-Seitz 2D no espaço recíproco.

{\vec {T}}=n_{1}{\vec {a}}_{1}+n_{2}{\vec {a}}_{2}+n_{3}{\vec {a}}_{3}

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

com $n_{1},n_{2},n_{3}\in \ \mathbb {N}$ . Pode-se construir uma rede recíproca e definir o que se chama de primeira zona de Brillouin, que é a célula de Wigner-Seitz do espaço recíproco. Tem-se então uma maneira de se observar geometricamente os vetores de onda ${\vec {k}}$ que satisfazem a condição de Laue para difração:

\left({\frac {\vec {G}}{2}}\right)^{2}={\frac {\vec {G}}{2}}\cdot {\vec {k}}

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

onde ${\vec {G}}$ é o vetor ligando dois pontos na rede recíproca. Observa-se, então, que todos os vetores de onda que partem do centro da célula e encontram sua fronteira satisfazem essa condição e exitirá um pico de difração para o comprimento de onda $\lambda$ dado por

\lambda ={\frac {2\pi }{|{\vec {k}}|}}

$\psi ^{*}$ [ $\psi ^{*}$ ${\boldsymbol {\mu }}$ ] $\lambda$ ω ${\mathcal {T}}$ , $\sigma$ , $\psi$ $-i\hbar {\frac {\partial }{\partial x_{n}}}$ [x,t] ] =

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